Funzione di libreria per limitare funzioni non razionali

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Quando si calcola l'errore algoritmico, spesso si trovare la dicitura "per le funzioni non razionali assumiamo che il calcolo sia effettuabile con errore relativo limitabile dalla precisione di macchina". Poi come "costo" all'arco del grafo ci mette un valore a seconda della funzione non razionale dell'esercizio (logarito,esponenziale,radice....)
Come si calcola questo valore?

Alessandro Antonelli
Significa che prendi per buono il fatto che il calcolo dell'operazione irrazionale comporti un errore locale minore della precisione di macchina u, alla pari delle classiche operazioni aritmetiche.
Nel grafo devi indicare con una lettera qualunque l'errore locale in corrispondenza del nodo che contiene il risultato dell'operazione (e sai che sarà minore di u), e devi indicare il coefficiente di amplificazione in corrispondenza dell'arco che arriva al nodo.
Il coefficiente di amplificazione si calcola come tutti i coefficienti di amplificazione, cioè con la formula
[s]Cx= x/f(x) * [derivata di f(x)]/[derivata di x] [/s] (errore mio, vedi post sotto)
Cx= x/f(x) * f'(x)
Attenzione perché nella formula x indica l'argomento della funzione irrazionale, che può essere anche un'altra funzione (es. x^2+logx) ma deve essere considerato in blocco come variabile (cioè la sua derivata fa uno); invece se la funzione irrazionale ha più argomenti (es f(x,y)=2x+y) ricorda che nel coefficiente dell'arco che va da x a f(x, y) x è considerata unica variabile, mentre y è considerata una costante (la sua derivata fa zero).
Spero si capisca anche se l'ho scritto di fretta (e soprattutto spero di non aver scritto caxxate )

MindFlyer

[derivata di f(x)]/[derivata di x]

Faccio notare che il simbolo [math]\frac{d f(x)}{d x} non si legge "derivata di f(x) diviso derivata di x", ma si legge "de f su de x". Né si tratta di un rapporto tra derivate, ma tra differenziali! Quella non è né più né meno che la derivata di f(x), ed è un modo alternativo (leibniziano) di scrivere [math]f'(x).
(Poi lasciamo stare il fatto incidentale che la derivata di x è 1, e quindi tutto torna... Non è questo il punto.)

Alessandro Antonelli
Ah ecco, avevo scritto una cazzata, per fortuna che l'ho scritta così ora lo so
(comunque sarebbe stato carino che sulle dispense o almeno a lezione fosse stato detto visto che ad analisi il massimo che si è detto dei differenziali è che sono quei simboli alla fine degli integrali... :/ )

MindFlyer
La questione di cos'è esattamente un differenziale diventa rilevante solo a partire da Analisi 2, cosa che voi, ahimé, non vedrete mai. Al livello di Analisi 1 (e quindi di Calcolo Numerico) potete benissimo trattare il [math]d come un simbolo formale e basta, che sta a indicare la variabile rispetto cui si deriva o si integra.
Ti ho corretto solo perché identificare un differenziale con una derivata, oltre a confondere inutilmente i due concetti, è una cosa da burini che in sede d'esame può rendervi facili vittime di derisioni e sbertucciamenti poco piacevoli.
Per essere ancora più chiari: [math]d f(x) è il differenziale di [math]f(x), che non è la derivata di [math]f(x). Quindi, scrivere [math]d f(x) e chiamarlo derivata è un errore. Analogamente, [math]dx è il differenziale della funzione [math]g(x)=x, e non è vero che [math]dx=1, solo perché la derivata di x è 1.

I modi equivalenti di indicare la derivata di [math]f(x) sono: [math]f'(x), [math]Df(x), [math]\frac{df(x)}{dx}, [math]\frac{d}{dx}f(x), [math]\dot f(x), [math]f^{(1)}(x).

Per indicare la derivata seconda, si può scrivere: [math]f''(x), [math]D^2f(x), [math]\frac{d^2f(x)}{dx^2}, [math]\frac{d^2}{dx^2}f(x), [math]\ddot f(x), [math]f^{(2)}(x).

Osserva che nella notazione coi differenziali si usa [math]\frac{d^2f(x)}{dx^2} per la derivata seconda, da cui vedi chiaramente che il differenziale non è una derivata, altrimenti non si spiegherebbe quel [math]x^2 a denominatore.

Se la funzione ha più di una variabile, puoi derivare rispetto a una variabile sola, ma non devi più usare il simbolo di differenziale [math]d. In questi casi si usa invece [math]\partial: anziché [math]\frac{d f(x,y)}{dx}, devi scrivere [math]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} per indicare la derivata parziale rispetto a x, e [math]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} per indicare la derivata parziale rispetto a y. Il simbolo [math]\partial, come ti può confermare qualunque livornese, si legge anch'esso "de".

Alessandro Antonelli
No ma hai fatto bene, anzi grazie del post che è molto chiaro e utile sia ora che per il futuro
Conoscevo la notazione D f(x) per dire f'(x) e ho pensato valesse anche con la D minuscola, senza pensare al differenziale (che praticamente abbiamo sempre visto in versione "statica" e "immutabile" come dx).

Il simbolo [math]\partial, come ti può confermare qualunque livornese, si legge anch'esso "de".