The forum of the Computer Science students of the University of Pisa

Domande Orale Pratelli

Fatto l'orale ieri, partivo con un voto basso e mi ha dato 9 punti in piu. Mi ha chiesto:
•Definire la variabile aleatoria che,dopo che io lancio un singolo dado, con il tuo lancio in quali casi e con quale probabilità ottieni un punteggio piu alto, uguale o minore
•Cosa significa probabilità condizionata, esiste un evento indipendente con se stesso?
•Definizione di valore atteso di una variabile aleatoria assolutamente continua, cosa succede se l'integrale con il valore assoluto di x diverge
•A cosa è uguale la Var(X+Y) con tutti i vari passaggi. Con tutti i vari passaggi usciva Var(X)+Var(Y)+2(E(X*Y)-(E(X)*E(Y)), quindi se X e Y sono indipendenti allora è uguale direttamente a Var(X)+Var(Y). Allora mi ha chiesto di fare un esempio con due variabili X e Y che fossero dipendenti per cui Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Orale fatto il 26/02. L'esame è alla lavagna. Mi ha chiesto:
- scrivere la funzione gaussiana e la sua densità, sia nel caso N(0,1), sia nel caso N(c,sigma).
- disegnare il grafico di una gaussiana con sigma=1 e confrontarlo con quello con sigma=1/2.
- cosa vuol dire "nella pratica" che due gaussiane hanno due sigma diverse.
- speranza di X*Y con dimostrazione.
- varianza di X+Y con dimostrazione.
In generale è tranquillo e aiuta se non si sa qualcosa. L'orale è andato bene e mi ha alzato di 7 punti (18-25).
Orali svolti in modalità a distanza (solo orale)

Orale 1:
Data

Codice: Seleziona tutto

F(X)=
        {   0           se x<=0
        {   a*x^2    se 0<x<1
        {   b*x        se 1<x<2
        {   1            se x>=2
1.1) a e b tali che F(X) sia una funzione di ripartizione
1.2) Densità della F(X)
1.3) Come deve essere la funzione di ripartizione F(X) per essere tale (continua)
2) Varianza della V.A. continua X
3) Legge dei Grandi Numeri

Orale 2:
1) Teorema del Limite Centrale
2) Densità normale standard
3.1) Relazione tra phi(x) e phi(-x)
3.2) Da cosa dipende la soluzione alla domanda precedente (dal fatto che la densità è una funzione pari)
4) N(3,4) come ci si può lavorare sopra? (trasformandola in normale standard N(0,1))
5) Formula di Bayes

Orale 3:
1) Disuguaglianza di Chebichev
2.1) Densità esponenziale
2.2) Disegnarne due densità, una con lambda = 1/2 e lambda = 3
3) Relazione tra funzione di ripartizione e densità
4) P(A|B)= ?
5) Condizionamento Ripetuto (o Aperto)

Orale 4:
1) Formula di partizionamento
2) Formula Bayes
3) Prodotto eventi indipendenti
4) lancio dado P(X=6)?
5) Legge dei Grandi Numeri
6) Disuguaglianza di Chebichev

Orale 5:
1) Poisson(mu1) +Poisson(mu2)=? sapendo che sono indipendenti
2) Formula Convoluzione
3) X,Y V.A. Gaussiane standard indipendenti (N(mu, sigma^2))
X + Y =?
4) Funzione distribuzione Gamma
5) Data la densità

Codice: Seleziona tutto

f(n,x)=
        {   cn    se -n <=x<= n
        {   0     altrimenti
5.1) Trovare cn tale che sia effettivamente una densità
5.2) Calcolare Valore atteso e Varianza
5.3) Ricavare la funzione di ripartizione

Gli orali indicativamnete durano 30 minuti, il professore cerca sempre di aiutare.
Mattina 21/01
Voto di ammissione: 21 -> 27
- Differenza tra varianza empirica e varianza campionaria
- Qual è la media di una variabile aleatoria discreta? Dare la definizione di valore atteso. Cos'è quindi la varianza empirica?
- Cosa significa "stima corretta della varianza"?
- (Vedendo gli errori nello scritto) Probabilità condizionata e formula di Bayes
- Perché sono importanti le variabili gaussiane in statistica? Enunciare il teorema limite centrale. Cosa si trova sulla tavola N(0,1)?
Voto di ammissione: ?? -> ??
- Considerazioni sulle statistiche campionarie di variabili Gaussiane (teorema 5.2.1)
- Densità gamma
- Come si verifica se una variabile con densità ha momento di ordine n? (Risposta: x^n < 1 + x^m con n < m && x >= 0) Spiegare questo risultato.
Voto di ammissione: 21
- Cos'è il p-value? Spiegare l'equivalenza tra le due definizioni date.
- Test m = m0 contro m =/= m0; quando si rifiuta l'ipotesi? qual è la formula della regione critica?
- Enunciare la legge dei grandi numeri e la disuguaglianza di Chebyshev
- Definire la variabile geometrica di parametro p
- Funzione generatrice dei momenti nel caso di una variabile geometrica di parametro p
Pomeriggio 21/01
Voto di ammissione: 26 -> ??
- Disuguaglianza di Chebyshev e di Markov
- La varianza della somma è uguale alla somma delle varianze? Quando?
- Per cosa è stata utilizzata la disuguaglianza di Chebyshev? (Risposta: legge debole dei grandi numeri)
- Come si definisce la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria? Parlare di funzione densità e funzione di ripartizione.
- Come si definisce la stima col metodo dei momenti? Cosa significa "stima corretta"?
Voto di ammissione: 26 -> 26
- Parlare di test, livello, potenza, regione critica, p-value
- Supponendo di avere una variabile aleatoria con densità definita su un certo intervallo: quali sono le condizioni sulla funzione densità? Sapendo che è definita solo su quell'intervallo, cosa puoi dire sui momenti? Sei sicuro abbia momento di ordine n? (Risposta: sì)
- Qual è la situazione in cui una variabile aleatoria discreta ha tutti i momenti? (Risposta: la variabile binomiale siamo sicuri li abbia tutti, quella geometrica si può dimostrare, per quella di Poisson sono necessari dei calcoli)
- Parlare della funzione generatrice dei momenti

Mattina 10/02
16 (compitini) -> 22
- Parlare delle variabili aleatorie.
- Cosa si intende per variabili indipendenti?
- Come si verifica nella pratica l'indipendenza?
- Cosa si significa fare un test? Cosa sono livello e potenza di un test? Cos'è il p-value?
?? -> ??
- Enunciare legge debole dei grandi numeri e teorema limite centrale. Parlare delle disuguaglianze di Chebyshev e di Markov per dimostrare la legge dei grandi numeri.
- Spiegare perché è sufficiente una sola pagina per la tavola N(0,1).
- Cos'è una variabile di Bernoulli? Fare un esempio di cosa si modellizzi con variabili di Bernoulli.
- Come si definisce una variabile di Poisson? Descrivere una variabile geometrica di parametro p.
21 -> 23
- Parlare della formula di Bayes e della probabilità condizionata.
- Cosa sono varianza campionaria e varianza empirica?
- Come si calcola la funzione di ripartizione? Qual è il suo legame con la funzione di ripartizione empirica?
- Come si definisce il coefficiente di correlazione?
?? -> ??
- Definire un intervallo di fiducia. Perché si sceglie alpha vicino a zero e non beta vicino a uno?
- Cos'è il livello di un test?
- Cos'è la densità di una variabile aleatoria? Definisci densità esponenziale e gamma.
- Rapporto tra momento di ordine n e momento di ordine m con n > m. Cosa cambia nel caso di variabili aleatorie discrete?
?? -> ??
- Parlare della continuità della probabilità.
- Probabilità condizionata.
- Stima di massima verosimiglianza e col metodo dei momenti.
- Qual è la condizione per cui esiste un valore atteso di una variabile aleatoria con densità?
17 -> ??
- Cos'è una variabile gamma? Una chi quadro? Come si dimostra l'equivalenza tra Gamma(n/2, 1/2) e la chi quadro?
- Come si calcola la densità di una variabile Y definita come X^2?
Pomeriggio 10/02
19 -> ??
- Cosa significa che una variabile aleatoria ha densità?
- Cosa dice la disuguaglianza di Chebyshev?
17 -> ??
- Probabilità condizionata e formula di Bayes.
- Cosa rappresenta una variabile aleatoria esponenziale?
- Cosa puoi dire dei momenti di una variabile aleatoria esponenziale? Ha momento di ordine n?